«

»

Nov 09 2016

Barruak eta kanpoak zentzua galtzen dutenean: Möbiusen gainazala

mobius bandaElementu geometriko hau August Möbius eta Johann Listing-ek aurkitu zuten modu independientean lan eginez…urte berean! 1858an! Horrelako koinzidentziak gertatzen dira noizean behin!

Zinta edo banda bukaezina (Endless gibbon) izenez ere ezagutzen da. Oso modu errazean eraiki daiteke, paper zati bat hartuta, baina bere sinpletasunean, harrigarriak diren propietateak dauzka.

Hasteko, esan dezakegu Möbiusen gainazalaren inguruko kontu analitikoak (ekuazioak, bektore normalaren definizioa…) batxilergotik haratago doazela. Izan ere, ez da gainazal lau bat, kurbatua, baizik. Hauen ekuazioak ez dira batxilergoan aztertzen direnak bezain sinpleak. Bektore normala edo karakteristikoa definitzeko ere, gainazal zati diferentzialak eta integralak erabili behar dira, eta inoiz esan dugun moduan, batxilergoan horren hastapena besterik ez da aztertzen.

Kuriositate moduan jarriko dugu bere ekuazio parametrikoa:(http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Arquitectura2008.pdf helbidean hartutakoa)

 

x(u,v)=cos(u).(1+1/2vcos(u/2))

y(u,v)=sin(u).(1+1/2vcos(u/2))

z(u,v)=1/2vsin(u/2)

non 0≤u<π eta -1/2<v<1/2

Ekuazio hau 1unitateko zabalera, 1 erradioko zirkunfentzia zentrala eta OXY planuan (0,0,0) puntuan zentratuta dagoen kasurako da baliagarria. Ekuazio honetan u parametroak banda bera errekorritzen du eta v parametroak ertzetik ertzerako balioak hartzen ditu, zirkunferentzia zentrala zeharkatuz aldiro. 

 

Ez dauka itxura errazik, ezta? 

Gu, hemen, banda edo gainazal honen berezitasunak aztertzera mugatuko gara. Ezaugarri hauek azpimarratu ditzakegu:

  • Alde bakarreko gainazala dela.

  • Ertz bakarra daukala.

  • Gainazal ez-orientagarria dela.

Zer esan nahi dute zehazki? Ikus dezagun “tocamates” webguneko egileak grabatutako bideo hau (gazteleraz):

 

Oraindik ere harrigarria egiten zait ikustea zilindro “arrunta” izateko jaioa zen zintari biraketa sinple bat egiteak nola aldatzen dizkion propietate eta ezaugarriak!

Mobiusen banda honek jende askoren kuriositatea piztu izan du eta leku askotan lan egin izan da berarekin; artearen, diseinuaren eta arkitekturaren munduan bereziki.

 

moebius rokodromoa

Haurrentzako jolasa

puente moebius

Bristoleko zubia (proiektua da)

rezilkajea

Birziklapenaren sinboloa

maketa moebius

Landscape House , Janpaap Ruijssenaars-ena

eraztuna moebius

Eraztuna

escher moebius

MC Escher-en txingurriak

aulkia moebius

Aulkia

bufanda

Lepokoa

 

Beste erabilera praktiko gehiago ere aurkitu dizkiote hala ere. Lee Forest-ek bi aldetatik grabatu zitekeen filmea patentatu zuen, Möbiusen  gainazalean oinarrituta. Geroago zinta magnetofonikoetan ere erabili zen ideia bera; grabazioaren iraupena bikoiztea lortzen zen horrela. Tinta emateko sistema baten eskema daukazue hurrengo irudian, bi aldeen erabilera aprobe-txatzeko helburuarekin.  Uhal garaitzaile eta uhal urratzaileekin ere kontzeptu bera erabili izan da bi aldeetako higadura berdintzeko. cinta magnetofonikoa

1961ean, Woldor R. Toblerrek munduko mapa Möbiusen gainazalean proiektatzea proposatu zuen. Poloak zintaren ertzean geratuko lirateke eta paralelo eta meridian¡oen arteko distantzia konstantea izango litzateke. Gainazaleko puntu bakoitzak antipodatan dauden bi leku konektatuko lituzke, Toblerren esanetan. 

Horri guztiari gehitu behar zaio musikaren munduan, literaturan eta zinean ere sarri aipatu izan den elementua dela.

PartekatuShare on Facebook0Share on Google+0Tweet about this on TwitterPin on Pinterest0Share on LinkedIn0Digg this

4 comentarios

Ir al formulario de comentarios

  1. Luis

    Oso material interesgarria. Eskerrik asko

    1. larana

      Milesker zuri, Luis.

  2. Fran

    Zelako polita!
    Bideoan ikusten denez oso erraza da zinta eraikitzea. Nik proposatzen dut beste jokutxo bat. Behin eraikita boligrafo batez markatu linea bat bandaren erditik eta ertzarekiko paraleloa.

    Bideoan antzeman daitekeenez eta zinta aurpegi bakarrekoa denez linea marraztean, amaieran, topatuko gara lerroaren hasierarekin. Ondo.

    Baina, zer gertatuko da, artaziak hartuta, linea horretatik ebakitzen badugu zinta osoa?

    Zenbat zinta izango dugu? Eta “emaitzarekin” berriro prozesu bera errepikatzen badugu? Zer gertatuko da?

    Udazkeneko arratsalde euritsu baterako plan interesgarria.

    Agur bero bat.

    1. larana

      Kaixo Fran
      Eskerrik asko zure ekarpenagatik. Egia da ipuinaren bukaera edo segida falta zaiola Möbiusen artikulu honi. Hurrengo baten gehituko diot bigarren zatia. Ez behin bakarrik moztuta; bi aldiz moztuta ere gauza interesgarriak behatu baitaitezke. Topologiaren arauekin jolastea deitzen diot nik horri! Bide batez, ongi etorri gurera berriz ere!

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

*