Urt 24 2016

Esponentzialak, xake taula eta arroz aleak

Ipuin baten bueltan aztertu daitezkeen kontzeptu matematikoak asko interesatzen zaizkit. Horregatik ekartzen dut istorio hau hona.

“Aspaldiko garai baten, India inguruan ba omen zen Sheram izeneko brahmana. Bazeukan seme bat asko maite zuena, baina gerra baten hil egin zitzaion eta ondorioz gure Sheram bizipoza galduta geratu omen zen. Inguruko denak bere onera bueltatu zedin saiatu eta saiatu ari ziren, baina ezin. Halako batean Sissa deitzen zen zerbitzariak joko berri bat aurkeztu zion Sherami: 64 karratu zeuzkan taula baten jokatzen zen eta ejerzito baten egitura hartzen zuten piezak erabiltzen zituen; estrategia eta logika ziren joko harekin aritzeko gakoak. Xakea zen. 

images (5)

Sheramek berehala heldu zion xakearen amuari eta jolastu eta jolastu hasi zen. Jolasteko gogoarekin batera piztu omen zitzaion bizitzekoa ere, eta horregatik bere esker ona adierazi nahi izan zion Sissari; nolabait bere laguntza ordaindu nahi ziola eta nahi zuena eskatzea eskaini zion. Sissak ondo pentsatu eta ideia bat izan zuen: Sheram xake taulak salbatu zuenez, taularekin lotutako saria eskatuko zion.
Lehenengo karratuagaik, arroz ale bat; bigarrenagatik bi arroz ale; hirugarrenagatik 4 arroz ale; 8 ale laugarrenagatik; 16 ale bosgarrenagatik, 32 ale seigarrenagatik… Hau da, karratu bakoitzean aurreko karratuko kopuruaren bikoitza eskatzen zuen.

leyenda_ajedrez

Sherami gauza xumea iruditu zitzaion. Are gehiago, Sissak Sheramen aberastasuna gutxiesten zuela ere pentsatu zuen, baina hala ere, eskatutakoa berehala ordaintzeko agindu zien bere zerbitzariei, eta hauek kalkuluak egiten hasi ziren.

Hurrengo eguna iritsi zen eta saria Sissari ordaindu ote zioten jakin nahi izan zuen Sheramek. Zerbitzariek kalkuluak egiteko denbora gehiago behar zutela erantzun zioten.

Bazkal ostea ere  iritsi zen eta Sheram berriz ere saria ordaintzearekin tematu zen. Zerbitzariek ezetz; are gehiago, arazo larri baten aurrean zeudela erantzun zioten. 

Orain bai, Sheram haserretu egin zen. Biltegi asko zeuzkala goraino arrozez beteta eta mesedez lehenbailehen ordaintzeko Sissari.

Erretetxeko jakintsua izan zen hitza hartu eta erantzuten ausartu zena: “Sheram haundi eta agurgarria. Ez da posible Sissari bere saria ematea. Ez dago zure biltegietan horretarako beste arrozik. Ezta erreinu osoan ere. Mundu osoan ere ez dago horrenbeste arroz…”

Sheram zur eta lur gelditu zen…eta Sissari beste sari bat eskatzeko erregutu behar izan zion.”

 

Honaino istorioa, hemendik aurrera matematikak. Hainbeste al da Sissak eskatutako arroz kopurua? Egin ditzagun kalkuluak. 

Zuetako asko konturatuko zinetenez, egoera esponentzial baten aurrean gaude. y=2x espresioak deskribatzen duen egoera baten aurrean konkretuki. Taulara eramanda, honakoa daukagu:
granos2

 Ez dirudite gauza haundia zenbaki horiek. Are gehiago lehenengoak ikuten baditugu:

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192, 16384…. eta oraindik 214an gaude.

230 kalkulatuz gero, 1.073.741.824 ematen du. Haundia da jada.

250ek 1.125.899.906.842.624 ematen du. Ikaragarri zenbaki haundia.

Azken taulan, 263daukagu. Hau da, 9.223.372.036.854.775.808 ale arroz beharko genituzke azken karratutxoan.

Asko da. Ados. Baina benetan ez al dago munduan horrenbeste arroz ale?

Has gaitezen arroz ale kopurua batzetik:

1+2+4+8+16+32+64+128+256+……+9223372036854775808= 18.446.744.073.709.551.615 arroz ale zor dizkio Sheramek Sissari.

Zenbaki erraaaaaaaldoia! Bai horixe. Baina badakizue zer? Futbolarien soldatekin gertatzen zaidan gauza bera pasatzen zait neri zenbaki hauekin…. neurria galdu egiten dudala eta esku artean daukadan zenbakiaren zenbatekotasuna intuitzeko ez naizela gai izaten. Beraz, kalkuluak egiten jarraituko dut, ea panorama argiago bat lortzen dugun.

Arroz paketeak normalean kilokoak izaten dira. Zenbat ale egongo dira pakete batean? Kalkulatzeko ariekta polita eta erraza…eta oso manipulatiboa. Bi bide datozkit burura.

  • Hartu pakete bateko 100 gr arroz eta kontatu ale kopurua. Emaitza hamarkoiztu eta kitto. Modu hau ona izan daiteke taldean egiteko.
  • Bestela, bakarrik jarduteko, hartu 200 ale arroz eta pisatu.
    Hiruko erregela batek emango ale kopuru totala.

Nik bigarrena egin dut  1gr-rainoko zehaztasuna daukan balantza batekin:

20160124_103337 20160124_103514

 200 ale arroz dauzkagunean 5 eta 6gr arteko masa daukagula ikusi ahal izan dut. Balantzak behar den zehaztasuna ez duenez, kasurik txarrenean jarriko naiz eta estimazio horrekin egingo ditut hurrengo kalkuluak. 5grko erantzuna hartuko dut, beraz, eta hiruko erregela hau geratuko zait:

200 ale arroz——-5gr

x ale arroz———–1000gr          x=1000*200/5=40000 ale arroz aurkituko ditugu 1kg-ko pakete batean.

Badaukadu, ba, kopuru on bat. Nork esango luke hainbeste ale daudenik, ezta?

Bueltatu gaitezen Sissaren sarira. Zenbat arroz pakete zor dizkio Sheram-ek? Beste hiruko erregela bat dator orain:

40000 ale balira zorretan dauzkanak——1 pakete eman beharko lioke.

18446744073709551615 ale zor dizkionez—-x

                                     x=18446744073709551615*1/40000=461168601842738 pakete arroz bete beharko dituzte Sheramen zerbitzariek.

Ai ama! Berriz ere zenbaki erraldoi bat.

Jo dezagun orain munduko populazio osoa kontuan hartzera eta kkalkulatu dezagun bakoitzari zenbat pakete egokituko litzaizkiokeen arroz hori guztia banatuko bagenu.
Sheramen garaian gutxiago izango ziren baina gaur egun 7.000.000.000 biztanle inguru omen gara planetan. Zenbat arroz pakete suposatuko luke lurreko biztanle bakoitzarentzat? Hiruko erregela erabiliko dugu berriz:

7.000.000.000 biztanlentzako—–461168601842738 pakete dauzkagu

1 biztanlentzako————————x

x=1*461168601842738/7000000000=65881 pakete arroz ateratzen dira planetako biztanle bakoitzarendako.

 Eta orain bai, argi ikusten da lur planetan ez dagoela hainbeste arroz. 

Kuriosoa, ezta? Jakin gabe geratuko zaiguna da Sissak zer eskatu zion Sherami arrozaren ordez!

 

 

 

 

 

Permanent link to this article: http://matematiketan.eus/2016/01/24/exponentzialak-xake-taula-eta-arroz-aleak/

Utzi erantzuna

Your email address will not be published.

*